■ブラック・ショールズ・モデル■

---目次---
  • SO権利落ち金額の算定(1)
  • SO権利落ち金額の算定(2)
  • インボイスの権利落ち日(結果)

  • (2004/9/22)(9/24全面改定)
    SO権利落ち金額の算定(1)

    9月27日のインボイスの権利落ちが幾らになるか?参考

    ブラック・ショールズ・モデルに従って、計算することにします。
    参考書は、こちらのページです。

    まず、ボラティリティの計算です。 計算期間は、11倍分割の権利落ち日(6月28日)から今日(9月24日)までの62営業日を採用しました。

    当日の終値を前日の終値で割り算して、対前日比率Pを計算します。
    この値から1を引けば、お馴染みの株価上昇率(または下落率)Aとなります。

    また、対前日比Pの自然対数をBとします。

    B=Ln(P)
    ただし、P=株価/前日株価

    下の表が示すようにAとBは、株価変動が少ないときは、かなり近い数字となります。
    私は、よしのふさんに指摘されるまでは、ボラティティの計算にはAを使うと思っていました。

    Aには、欠点があります。

    株価がある日2倍になり、次の日に半値になったとします。株価は元に戻ります。

    株価上昇率を計算すると100%と-50%となり、数値が大きく異なってしまします。
    対前日比Pの自然対数をとってBを計算してましょう。自然対数とは、e (ネピアの数)≒2.7182を底とした対数です。

    Ln(2)=0.6931
    Ln(0.5)=-0.6931

    等価なインパクトを持つ反対の現象であることがよくわかります。

    さて、69.31%という数字のもつ意味を説明しましょう。 年間69.31%の金利で、1年間銀行預金をします。 ただし、1年間を無数に細分化した複利の預金です。元利合計は複利の強みで、ちょうど2倍になります

    1年後の元利合計=(1+0.6931/n)^n
    =EXP(0.6931)=2
    ただしn→∞

    とり得る範囲についても、BはAよりも優れています。すなわち・・
    -1<A<+∞に対して、-∞<B<+∞

    さて、A62個を累計すると-0.01011、Bは-0.13083となります。 今日の株価22250円を62営業日前の株価25360で割り自然対数をとると-0.13083となり、Bの累計と一致します。 それに対して、Aの累計は意味不明です。

    優れた性質を持ち、小さいときは株価上昇率に近い値をしめすBを変動率と呼ぶことにします。
    変動率は、対前日比の自然対数をとることで計算できます。

    62個の変動率Bの標準偏差を計算すれば、1営業日当たりのヒストリカル・ボラティリティσが求まります。

    変動率Bが正規分布するというのが、ブラック・ショールズ・モデルの前提条件です。 すなわち、ボラティリティが今後も変わらないとすれば、1営業日の変動率は-σから+σまでの範囲に68.27%が収まると予想されるのです。

    標準偏差は、EXCELではSTDEVP()を使うと計算できます。 σは、0.062185となります。

    さて、分割権利落ち直後の5日間は、連続2桁上昇です。かなり、特殊なケースです。

    しかし、インボイスは、SOの成功=資金確保に執着してますから、大型分割を 行使期間中に必ず一回は行なうでしょう。
    従って、ストックオプション権利落ち価格の算定には予想変動率σ=0.062185を採用したいと思います。

    なお、新株が流通するまでの間、10/11の株が売れないという現象が、オプション価格Cに反映される筈ですが、複雑すぎるのでこれは、無視します。

    日付 終値 対前日比
    P=株価/前日株価
    上昇率
    A=P-1
    変動率
    B=Ln(P)
    2004年6月28日(11分割権利落ち直後) 28,360 1.11829653 0.11830 0.11181
    2004年6月29日 31,400 1.10719323 0.10719 0.10183
    2004年6月30日 35,400 1.127388535 0.12739 0.11990
    2004年7月1日 39,400 1.11299435 0.11299 0.10705
    2004年7月2日 43,400 1.101522843 0.10152 0.09669
    2004年7月5日 42,000 0.967741935 -0.03226 -0.03279
    2004年7月6日 38,000 0.904761905 -0.09524 -0.10008
    2004年7月7日 42,000 1.105263158 0.10526 0.10008
    2004年7月8日 40,500 0.964285714 -0.03571 -0.03637
    2004年7月9日 41,050 1.013580247 0.01358 0.01349
    2004年7月12日 40,750 0.992691839 -0.00731 -0.00733
    2004年7月13日 40,000 0.981595092 -0.01840 -0.01858
    2004年7月14日 38,600 0.965 -0.03500 -0.03563
    2004年7月15日 36,600 0.948186528 -0.05181 -0.05320
    2004年7月16日 38,100 1.040983607 0.04098 0.04017
    2004年7月20日 37,700 0.989501312 -0.01050 -0.01055
    2004年7月21日 38,950 1.033156499 0.03316 0.03262
    2004年7月22日 38,600 0.991014121 -0.00899 -0.00903
    2004年7月23日 37,750 0.977979275 -0.02202 -0.02227
    2004年7月26日 36,050 0.954966887 -0.04503 -0.04608
    2004年7月27日 32,050 0.889042996 -0.11096 -0.11761
    2004年7月28日 34,400 1.073322933 0.07332 0.07076
    2004年7月29日 32,550 0.94622093 -0.05378 -0.05528
    2004年7月30日 31,200 0.958525346 -0.04147 -0.04236
    2004年8月2日 28,850 0.924679487 -0.07532 -0.07831
    2004年8月3日 27,480 0.952512998 -0.04749 -0.04865
    2004年8月4日 28,600 1.040756914 0.04076 0.03995
    2004年8月5日 31,600 1.104895105 0.10490 0.09975
    2004年8月6日 35,600 1.126582278 0.12658 0.11919
    2004年8月9日 39,600 1.112359551 0.11236 0.10648
    2004年8月10日 36,750 0.928030303 -0.07197 -0.07469
    2004年8月11日 39,000 1.06122449 0.06122 0.05942
    2004年8月12日 40,150 1.029487179 0.02949 0.02906
    2004年8月13日 38,700 0.96388543 -0.03611 -0.03678
    2004年8月16日 38,350 0.990956072 -0.00904 -0.00909
    2004年8月17日 34,350 0.895697523 -0.10430 -0.11015
    2004年8月18日 30,350 0.883551674 -0.11645 -0.12381
    2004年8月19日 30,300 0.998352554 -0.00165 -0.00165
    2004年8月20日 31,000 1.02310231 0.02310 0.02284
    2004年8月23日 32,300 1.041935484 0.04194 0.04108
    2004年8月24日 30,750 0.952012384 -0.04799 -0.04918
    2004年8月25日 30,800 1.001626016 0.00163 0.00162
    2004年8月26日 30,000 0.974025974 -0.02597 -0.02632
    2004年8月27日 29,820 0.994 -0.00600 -0.00602
    2004年8月30日 30,200 1.012743125 0.01274 0.01266
    2004年8月31日 31,500 1.043046358 0.04305 0.04215
    2004年9月1日 30,550 0.96984127 -0.03016 -0.03062
    2004年9月2日 29,500 0.965630115 -0.03437 -0.03497
    2004年9月3日 27,720 0.939661017 -0.06034 -0.06224
    2004年9月6日 25,510 0.92027417 -0.07973 -0.08308
    2004年9月7日 27,980 1.096824775 0.09682 0.09242
    2004年9月8日 26,250 0.938170122 -0.06183 -0.06382
    2004年9月9日 26,310 1.002285714 0.00229 0.00228
    2004年9月10日 25,710 0.977194983 -0.02281 -0.02307
    2004年9月13日 24,980 0.971606379 -0.02839 -0.02880
    2004年9月14日 24,820 0.993594876 -0.00641 -0.00643
    2004年9月15日 23,200 0.934730056 -0.06527 -0.06750
    2004年9月16日 23,700 1.021551724 0.02155 0.02132
    2004年9月17日 23,300 0.983122363 -0.01688 -0.01702
    2004年9月21日 23,040 0.988841202 -0.01116 -0.01122
    2004年9月22日 23,140 1.004340278 0.00434 0.00433
    2004年9月24日 22,250 0.961538462 -0.03846 -0.03922
    ボラティリティσ(変動率の標準偏差) 0.062185
    合計 -0.01011 -0.13083

    次に行使期間tの計算です。行使期間は2004年11月12日から2005年9月30日まで。

    この間には、営業日が何日あるか?

    11月12営業日、12月20.5営業日、1月19.5営業日、2月19営業日、3月22営業日、4月20営業日、5月19営業日、6月22営業日、7月20営業日、8月23営業日、9月20営業日。

    ◆◆合計するとt=217となります。◆◆
    ◆◆ この続きは、明日発表します。◆◆

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    (2004/9/23)(9/24全面改定)
    SO権利落ち金額の算定(2)

    オプション価格Cを求めるブラック・ショールズ・モデルは、次のとおりです。

    C=S・N(d1)−EXP(-rT)・K・N(d2)

    Sは、原資産価格でとりあえず、24日のインボイスの終値を入れておきます。

    すなわち、S1=22250円
    Kは、行使価格で22090円

    EXP(-rT)は、「未来の金は、現在の金より金利分だけ価値がない」ために掛け算する割引率です。 金利年間1%、期間は約1年として・・・

    EXP(-rT)=0.99

    でいいでしょう。

    さて、d1やd2は、学力試験でお馴染みの偏差値の親戚です。

    偏差値70のときは、d=2
    偏差値60のときは、d=1
    偏差値50のときは、d=0
    偏差値40のときは、d=-1
    偏差値30のときは、d=-2

    N(d)は、標準正規分布の累積確率密度関数です。

    N(1)は、偏差値60以下の人が占める割合のことで、0.841345となります。
    EXCELでは、NORMSDIST(1)で計算できます。

    偏差値50以下の人が占める割合、つまりN(0)は、当然0.5になります。

    さて、d1,d2は次のとおりです。

    d1={Ln(S/K)+(r−q+1/2σ^2)t}/{σ・SQRT(t)}

    d2=d1-σ・SQRT(t)

    rtは、安全利子率で0.01としましょう。 qtは、インボイス株の利回りで、四季報の予想から0.0041とします。

    自然対数は、EXCELでLn( )を使い計算できます。
    平方根つまり√は、EXCELでSQRT( )を使い計算できます。

    d1={Ln(22250/22090)+0.01−0.0041+(0.5×0.0621852^2)×217}/{0.0621852・SQRT(217)
    =(0.007217+0.01-0.0041+0.419569)/0.9160455
    =0.4723419

    d2も計算しましょう。

    d2=d1-σ・SQRT(t)
    =0.4723419-0.9160455
    =-0.443704

    さて、いよいよコールオプション価格Cの計算です。

    C1=S・N(d1)−EXP(-rT)・K・N(d2)

    =22250×NORMSDIST(0.4723419)−0.99×22090×NORMSDIST(-0.443704)
    =22250×0.6816586−0.99×22090×0.3286284
    =7980.0961

    えっ?そんな馬鹿な。大きすぎますね。

    Sは、権利落ち後の株価を入れないといけません。
    S2=S1-C1=22250-7980=14,270
    もう一度、C2を計算すると3203となります。

    精度を上げるため、もう一度計算
    S3=S1-C2=19,0470
    C3=5888

    繰り返し収束計算法ですね。

    S4=S1-C3=16,362
    C4=4305

    S5=S1-C4=17945
    C5=5691

    S6 =S1-C5=5218
    C6=5025

    S7=S1-C6=17032
    C7=4684

    S8=S1-C7=17,566
    C8=4994

    S9=S1-C8=17,256
    C9=4813

    ・・・・・

    これを繰返すとC=4880円に収束します。
    この価格は、明らかに過大な気がします。

    理由は、株式分割が行使期間に実施され、新株流通のないときに、初めて株価が22,090円を大きく上回る可能性が大ですが、SOの権利を行使しても大部分は売れないわけです。 つまり、22,090円を振り込んで、新株が戻ってきたときは、損していたという可能性があるからです。

    また、権利行使されると換金売り圧力が高まり、σが影響を受けそうです。
    従って、4880円というコールオプション価格は、かなり大幅な値引き(例えば、半値?)が必要となるでしょう。
    私には、とても修正計算ができません。

    しかし、修正されたとしても、権利落ち幅が意外と大きいという点は、否めません。

    ◆◆ほんの叩き台で、結果はまったく自信がありません。◆◆
    ◆◆くれぐれも信用して株取引を行なわないように・・・◆◆

    ◆◆ 間違い等を発見された方は、掲示板で議論しましょう。◆◆

    (補足1)
    なお、以上の計算でもっとも影響を与えるのは、d1とd2の差。σ・SQRT(t)の値です。

    直線上を歩く酔っ払いの千鳥足(ランダムウォーク)に例えられます。

    σは、酔っ払いの歩幅と考えればよいでしょう。
    平均的な酔っ払いは、歩数を重ねると、歩数の平方根だけ、元の場所から離れていきます。

    オプション価格の計算に登場する株価Sの比例係数---言い換えるとN(d1)は、Δ(デルタ)値と呼ばれています。

    (補足2)

    今回は、σ(1営業日当たりボラティリティ)とt(217営業日)を使いました。 通常使用されるのは、年間ボラティリティなので、この値も算出してみましょう。

    σ・SQRT(t)の値が等しければ、式はほぼ等価です。
    (厳密には、qt、rt項が異なりますが、無視できます)

    σ2×SQRT(1)=σ×SQRT(217)
    σ2=0.0621852×14.73=0.9160

    t=1年なら、C=4880円から逆算される年間インプライド・ボラティリティは91.6%となります。
    EXP(0.916)=2.5倍

    この数字は、一年間に株価が2.5倍以上になる確率が、15.9%あることを意味します。
    1-N(1)=0.159

    (関連投稿1)

    インボイスのSO権利落ち価格 投稿者:i686  投稿日: 9月23日(木)02時11分7秒

    インボイスのSO権利落ち価格について私も考えてみましたが、 色々と難しそうです。
    通常のBSモデルでは株価の動きにランダムウォークを仮定し そこからオプション価格を算定しますが、 SOを発行している企業であれば、株式+オプションがランダム ウォークするため、株式そのものはランダムウォークを仮定 できません。
    詳しくは転換社債の評価モデル等が参考になりますが 私にはかなり難解です。

    (関連投稿2)

    ボラティリティの計算について 投稿者:よしのふ  投稿日: 09/23 Thu 23:22:10

    ストックオプションについての考察、大変興味深かったです。

    その中で株価変動についての標準偏差σを計算されていましたが、新興市場のように、 価格に対する変動率が大きい場合は株価変動率ではなく、株価変動率の自然対数が 正規分布に従うと考えたほうがより正確だと思われます。

    簡単な例で申し上げますと、ある日株価が2倍になって次の日0.5倍になったとしたら トータルで1倍のはずですが、株価変動率の計算では

     
     2−1=1  0.5−1=−0.5

    この2つをたしても0にはなりません。 これが株価変動率の自然対数なら、

      
    ln(2)と、ln(0.5)=−ln(2)

    この2つをたせば0となってもとの鞘に収まります。

    変動率が小さい場合はどちらの計算でも誤差は少ないのですが、特に分割直後の ような変動の激しい場合を含んで考察されているということなので、 こちらの方で計算されたほうが現実に近いかと思います。

    (関連投稿3)

    インボイスのSO権利落ち価格 投稿者:i686  投稿日: 9月24日(金)02時19分9秒

    J_Coffeeさん

    転換社債の評価を解説したHPは私も以前探したのですが 詳しく書いたものは見当たりませんでした。

    殆ど役に立ちませんが、
    転換社債の市場価格分析とリスク管理 には多少ヒント等がかかれています。
    ちなみに「モンテカルロ法」は乱数を使ったシミュレーション法なので J_Coffeeさんの取られた手法は繰り返し収束計算法というかそんな 感じではないかと思います。

    年率のHVは営業日ベースのボラティリティに年間の営業日数の平方根を 掛けて算出します。Bloomberg等では年間を260営業日としてルート260を 掛けて算出しているようです。

    SOや優先株や転換社債はその発行数が少なければ株価そのものに与える 影響は少ないのでBSモデルも有効だと思いますが、 発行数が多いと株式への転換後の希薄化、それを考慮した転換のタイミング (アメリカンオプションの場合)を考えると頭が痛いです。

    (関連投稿4)

    Jさんへ  投稿者:セブン  投稿日: 09/24 Fri 18:43:37 [ID:zdr6Lyjjw4s]

    重要なのはσの時間単位とtの時間単位が一致していることだというのはそのとおりで、ボラテ ィリティ−について(よしのふさんが言われた事は別として)Jさんはほぼ正しい算出をされて いると思います。(以下にあるように、私が言いたかった事とちょっとすれ違っていますが。)

    このSOについては、次のように考えてブラックショールズ(BS)モデルが結構近似的にうまく あてはまるのではないかと思います。

    転換社債などをプライスするモデルは、金融機関がやるように金利部分も確率過程で変動する ようなものだといくらでも複雑なものがありますが、そうでなければ単純なTreeでも作れます。 今問題にしているSOの場合、権利行使しなかった場合満期で価値がゼロになりますから、(権 利行使しなかった場合に100で償還されることを考慮してTreeでバックワード計算する必要 もなく)ほとんど普通のアメリカンコールオプションのようなものだと考えて近似的に間違い ないと思います。更に、よく知られているように、配当が無視できるほど小さい場合にはアメ リカンのコールはヨーロピアンのコールと価値が同じですから、普通のBS式でもほぼ見積もり 可能なはずです。そしてこの場合、オプションの期間(公式にあてはめるtの値)は権利行使が できる期間である2004年11月12日から2005年9月30日までの217日ではなく、 「今」(権利落ちの直前)から2005年9月30日までの約1年にすべきではないかと思い ます。(前回最後に書いたのはこの点です。)

    ただ一点、このSOのケースでは、株式の希薄化だけはちゃんと考慮に入れないといけないと思 われます。(普通はこのことは考慮されないので、たとえどこかのサイトで転換社債のモデルを 見つけてもたぶん使えないと思います。)今のJさんの結果の値は確かに過大なのかもしれませ んが、希薄化を考慮すれば結構正解に近い値が得られるのではと思います。幸運なことに、これ に関しては確かDilution Factorとかいう考えを使ってBS式にあてはめて「繰り返し収束計算」 させる結構簡単な方法があったはずです。月曜日以降、できれば探してみます。

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    (2004/9/27)
    インボイスの権利落ち(結果)

    さて、今日はインボイスのSO権利落ちの日でした。 株価は、ストップ安。朝方、売り注文は買いの約10倍だったそうです。

    私も、3日前から成行売り注文を出していました。 「今日は、ストップ安の比例配分か」と憂鬱でした。

    10時少し前、8万株の買い注文が突然入り寄り付きます。 しかし、後が続かず、直に、ストップ安に張り付きます。

    ところで、この大口購入者は、誰なのでしょうか?

    そういえば、24日の権利付最終日、2時45分頃、権利取りの動きが優勢となる中、何者かが大量の売りを出していました。 まるで、「22,300円になるまでは、幾らでも売ってやるぞ」という迫力です。

    この機関投資家が、今日8万株を買い戻したような気がしてなりません。

    8万株というと発行済株数の約1%。
    もしかして、犯人は、ジンベイザメではなかろうか?

    彼は、SOの権利は必要ないので、換金したがっているはずです。

    権利付最終日に売って、権利落ち日に安く買い戻せばSOの権利を売ったと同じことになります。

    持ち株の半分までを22,300円以上で売れば、たとえ権利落ち日に安値で買い戻せなくとも、ストックオプションを行使すれば、株の補充は可能なわけです。

    リスクがまったくないのです。

    インボイスのSO
    権利付最終日(9/24)権利落ち費日(9/27)

    結局、私は3000+αを出して、ストックオプションを買ったわけですが、権利処理価格を見て、がっくりです。 最低価格(按分)351、最高価格2,000、権利処理価格571でした。

    株式の希薄化、SOの売り圧力、バブルの株価に対して、厳しい評価がでています。

    今日の現象は、信用の買い残が多い中、SO権利落ちが暴落を誘発したと考えた方がよさそうです。

    ◆◆たいした金額ではないし、授業料を払った(まだ1年ありますが)と思うしかないですね。◆◆
    ◆◆ 今度機会があれば、権利入札で叩いて買うことにします。◆◆

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